Телесный угол

Телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.

Серидан

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r². Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

$\Omega$	Стерадиан	Кв. градус	Кв. минута	Кв. секунда	Полный угол
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103·10⁷ кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517·10¹⁰ кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742·10⁻⁴стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068·10⁻⁵полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595·10⁻⁸стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10⁻⁴ кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335·10⁻⁹полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305·10⁻¹¹стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938·10⁻⁸ кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778·10⁻⁴кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315·10⁻¹²полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066·10⁸кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378·10¹¹кв. секунд	1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac {({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

где $r,\vartheta ,\varphi$ — сферические координаты элемента поверхности $dS,$ $\mathbf {r}$ — его радиус-вектор, $\mathbf {n}$ — единичный вектор, нормальный к $dS.$

Свойства телесных углов

Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

Треугольник с координатами вершин ${\mathbf {r}}_{1}$ , ${\mathbf {r}}_{2}$ , ${\mathbf {r}}_{3}$ виден из начала координат под телесным углом

$\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r}}_{1})r_{2}}},$

где $({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})$ — смешанное произведение данных векторов, $({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен $\Omega =2\pi (1-\cos {\frac {\alpha }{2}})$ . Если известны радиус основания $R$ и высота $H$ конуса, то $\Omega =2\pi (1-{\frac {H}{{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}})$ . Когда угол раствора конуса мал, $\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ ( $\alpha$ выражено в радианах), или $\Omega \approx 0,000239\alpha ^{2}$ ( $\alpha$ выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6·10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.

Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$ при вершине, как:

\Omega =4\,\operatorname {arctg}{\sqrt {\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},

где

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

— полупериметр.

Через двугранные углы

\alpha ,\beta ,\gamma

телесный угол выражается как:

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен ${\frac {1}{8}}$ полного телесного угла, или ${\frac {\pi }{2}}$ стерадиан.

Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна ${\frac {1}{N}}$ полного телесного угла, или ${\frac {4\pi }{N}}$ стерадиан.

По материалам Wikipedia